estimasi

TUGAS STATISTIK

“ESTIMASI”

Nama kelompok 4

1.   Amfita Devi

2.   Citra Dewi

3.   Ester Natalia K.S

4.   Indah Maya Sari

5.   Nedi Kusnadi

6.   Trisna Novianti

Estimasi

A.    Pengertian Estimasi

·        Estimasi adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah estimator untuk menghasilkan sebuah estimate dari suatu parameter.

·        Estimasi adalah suatu metode dimana kita dapat memperkirakan nilai populasi ( parameter ) dengan memakai nilai sampel ( statistik ).

·        Estimasi merupakan suatu bagian statistik inferensia

pernyataan mengenai parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan informasi dari sampel random sederhana yang diambil dari populasi tersebut.

B.     Ciri – ciri estimator yang baik

Didalam estimasi nilai statistik yang dipakai untuk menduga nilai populasi atau parameter disebut estimator.

Estimator yang baik haruslah mempunyai sifat :

1.     Tidak bias

Estimator yang tidak bias adalah estimator yang hasil estimasinya mengandung nilai parameter yang diestimasi.

2.     Efisien

Dikatakan efisien apabila hasil estimasi memakai nilai tersebut pada rentang yang kecil saja sudah mengandung nilai parameter.

3.     Konsisten

Sedangkan yang di maksud dengan konsisten adalah berapapun besarnya sampel pada rentangnya akan mengandung nilai parameter yang sedang diestimasi.

C.     Bentuk Estimasi

Dalam menduga nilai parameter kita dapat melakukan dua macam pendugaan yaitu :

1.     Estimasi Titik ( point estimation )

2.     Estimasi Selang ( Interval estimation )

1.     Estimasi Titik

Estimasi Titik (Point Estimation), yaitu suatu nilai dari sampel sebagai estimator parameter.

Sebuah estimasi titik dari sebuah parameter q adalah sesuatu angka tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai yang masuk akal dari  q.

Contoh

•      Pabrik ban “Stonbridge” ingin mengestimasi penjualan rata-rata per hari. Sebuah sampel harian dikumpulkan menghasilkan rata-rata Rp 8.000.000,-.

Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). Nilai sampel Rp 8.000.000,- sebagai nilai estimate dari mean populasi.

Walaupun demikian estimasi titik ini juga mempunyai kelemahan tertentu, yaitu :

·        Kita tidak dapat mengetahui berapa kuat kebenaran dugaan kita itu.

·        Kemungkinan besar akan salah

Kelemahan estimasi titik ini dapat di hilangkan dengan melakukan estimasi selang ( interval ).

2.     Estimasi Interval

Estimasi Interval (Interval Estimation), yaitu suatu interval yang dengan tingkat kepercayaan tertentu memuat nilai parameter.

Sebuah estimasi interval (interval estimate) dari sebuah parameter q, adalah suatu sebaran nilai nilai yang digunakan untuk mengestimasi interval.

Jika dimiliki sampel X₁, X₂, …., X_n dari distribusi normal N(m, s²) maka

                                                                                     

Akibatnya interval kepercayaan (1-a)100% untuk mean populasi m adalah

dengan  Z_(1-a/2)  adalah kuantil ke-(1-a/2) dari distribusi normal baku dan jika s tidak diketahui maka dapat diestimasi dengan simpangan baku (standard deviation) sampel s yaitu s = Ös².

•      Jadi interval kepercayaan (confidence interval) adalah estimasi estimasi interval berdasarkan tingkat kepercayaan tertentu dan batas atas serta batas bawah interval disebut batas kepercayaan (confidence limits).

•      Dari prakteknya tingkat kepercayaan dilakukan sebelum estimasi dilakukan, jadi dengan menetapkan tingkat kepercayaan interval sebesar 90 persen.

•      Artinya seseorang yang melakukan tersebut ingin agar 90 persen yakin bahwa mean dari populasi akan termuat dalam interval yang diperoleh.

Estimasi interval untuk beberapa tingkat kepercayaan (1-a)100%.

Contoh

•      Seorang manager di perusahaan kertas Papilus ingin mengestimasi waktu rata-rata yang diperlukan oleh sebuah mesin untuk memproduksi 1 rim kertas.Suatu sampe acak ukuran 36 menunjukan bahwa rata-rata waktu yang diperlukan untuk memproduksi 1 rim kertas adalah adalah 1,5 menit. Informasi dari perusahaan kertas menyatakan standar deviasi setiap mesin adalah 0,30 menit dan manager tersebut mengasumsikan hal yang sama terhadap estimasinya.

Estimasi interval dengan tingkat kepercayaan 95 persen dapat ditentukan berikut ini :

•      Unsur unsur yang diketahui :

                         = 1,5 ; s = 0,30; n=36; tingkat kepercayaan 95 %.

Dengan tingkat kepercayaan 95 % maka nilai z adalah 1,96 jadi estimasi interval dari nilai waktu rata-rata sesungguhnya adalah :

                                                                                                                                  

Dengan kata lain yang manager mengestemasi dengan tingkat keyakinan 95 % bahwa rata-rata untuk memproduksi 1 rim kertas dengan mesin baru tersebut adalah antara 1,402 menit hingga1,589 menit. ( Jika n > 30 )

•      Dalam pengujian kekuatan tarl 40 sampel jenis logam di dapatkan sebagai berikut :

            923    1051   1090    1141            1162     1196    1225   1264    1302      1368

            924    1051   1094    1146            1163     1197    1231   1120    1303      1393

            931    1055   1095    1146  1170     1200    1233   1273    1312    1399

            939   1055    1106    1150            1171     1205    1233   1273    1314      1406

            maka estimasi rata-rata kekuatan tarik sesungguhnya adalah dari logam tersebut dapat dihitung dengan tingkat kepercayaan 90 persen yaitu:

Hasil dari data :

Dengan tingkat kepercayaan 90 % maka nilai z adalah 1,645 jadi estimasi interval dari rata rata sesungguhnya adalah :

Jika  n £ 30

•      Jika dimiliki sampel X₁, X₂, …., X_n dari distribusi normal N(m, s²) dengan s² tidak diketahui maka :

                                                                                                                       

Distribusi T

Berdistribusi t dengan derajat bebas n-1.

Sifat-sifat distribusi t :

•      Distribusi ini serupa dengan distribusi Z dengan mean nol dan simetris berbentuk lonceng / bell shape terhadap mean.

•      Bentuk distribusi tergantung pada ukuran sampel. Jadi distribusi adalah kumpulan keluarga distribusi dan perbedaan satu dengan yang lainnnya tergantung pada ukuran sampel.

•      Pada ukuran sampel yang kecil keruncingan berbentuk distribusi t kurang dibandingkan dengan distribusi Z dan jika meningkatnya ukuran sampel mendekati 30 maka bentuk  distribusi semakin mendekati bentuk distribusi Z. (Jadi jika n >30 maka digunakan nilai z)

Tabel distribusi T

•      Untuk  n £ 30, interval  kepercayaan

            (1-a)100% untuk mean populasi m adalah

dengan  t_{n-1; (1-a/2)}  adalah kuantil ke-(1-a/2) dari distribusi t dengan derajat bebas n-1 dan s adalah simpangan baku (standard deviation) sampel dengan s = Ös² yaitu akar dari variansi sampel.

CONTOH

•      Pengukuran temperature ruang pemanas 5 buah oven sejenis, yang dilakukan setelah beberapa waktu lamanya pemanasan di lakukan sampai bacaan tamperatur stabil (sesuai dengan operasi yang ditetapkan) menunjukan nilai sebagai berikut (dalam derajat Celsius) : 101, 88, 94, 96, dan 103.Estimasi rata-rata ruang pemanas sesungguhnya (populasi) dari oven temperature dapat diestimasi dengan tingkat kepercayaan 95 persen sebagai berikut:

Hasil perhitungan dari data